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本文作者:高其豪老師
泰祺教育數(shù)學(xué)教研組老師
關(guān)于幾個相容或互斥的集合的計(jì)數(shù)問題,稱為容斥問題。
相容,是同時并存的意思,“我中有你,你中有我”。
互斥,是互相排斥的意思,“我中無你,你中無我”。
在管綜數(shù)學(xué)中,容斥問題是應(yīng)用題的一類重要題型,主要考查兩個集合或三個集合的容斥問題。經(jīng)常讓求解總體的數(shù)量或局部的數(shù)量,有時也會讓求解某部分?jǐn)?shù)量的最大值或最小值等。下面我們先復(fù)習(xí)一下知識點(diǎn)。
容斥原理及結(jié)論
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容斥原理
統(tǒng)計(jì)總體數(shù)量時,一部分?jǐn)?shù)據(jù)會被重復(fù)計(jì)數(shù),所以需要減去重復(fù)的計(jì)數(shù)。對應(yīng)的知識點(diǎn)是容斥原理,下面我們來看一下。
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結(jié)論
由容斥原理可以得到下面兩個結(jié)論,解題時,可以直接套用。
求解容斥問題的方法
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對于兩個集合的容斥問題:
①可以優(yōu)先畫文氏圖來解題。(畫類似上面幾個彩色的圖。)
②有時也可以用容斥原理。
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對于三個集合的容斥問題:
①可以優(yōu)先使用結(jié)論來解題。
②當(dāng)三個集合的交集部分已知時,經(jīng)常畫文氏圖可以解題;當(dāng)三個集合的交集部分未知時,畫文氏圖可以幫助分析。
③使用容斥原理解題。在容斥問題求最值的時候,可結(jié)合文氏圖和容斥原理來解題。
總體上來說,容斥問題并不是很難。熟練掌握文氏圖、容斥原理及結(jié)論,把容斥問題這3分收入囊中不在話下。積少成多,量變引起質(zhì)變,大家加油!